Задачи на проценты 6 класс

Перевод в дробь — первое действие в любой задаче#

Проценты не складывают и не умножают напрямую: их сначала переводят в
десятичную дробь, разделив на 100. $18\% = 0{,}18$, $7\% = 0{,}07$,
$120\% = 1{,}2$, $0{,}5\% = 0{,}005$. Обратный перевод — умножение на 100:
$0{,}35 = 35\%$.

Запятая при делении на 100 сдвигается на два знака влево. Если этот сдвиг
не доведён до автоматизма, стоит сначала разобрать десятичные
дроби: все ошибки «в десять раз» растут
именно отсюда.

Второе, что нужно определить до вычислений, — что в задаче целое, то есть
те самые 100 %. Целое — это то, ОТ чего берут процент: цена до скидки,
весь класс, весь путь, вся зарплата.

Тип 1: найти процент от числа#

Условие: в сборнике 250 задач, ученик решил 18 % из них. Сколько задач
решено?

Шаг 1. Целое названо прямо: 250 задач, это 100 %.

Шаг 2. Переводим процент в дробь: $18\% = 0{,}18$.

Шаг 3. Умножаем: $250 \cdot 0{,}18 = 45$.

Ответ: 45 задач.

Тот же счёт устно, через один процент: $250 : 100 = 2{,}5$ — это 1 %,
значит 18 % это $2{,}5 \cdot 18 = 45$. Способ «через один процент» удобен,
когда дроби в уме не идут, и даёт то же число.

Тип 2: найти число по его проценту#

Условие: 12 % задуманного числа равны 42. Найти число.

Шаг 1. Здесь неизвестно как раз целое — оно и есть ответ.

Шаг 2. Записываем связь: $0{,}12 \cdot x = 42$. Это обычное уравнение,
дальше работают правила из разбора линейных
уравнений.

Шаг 3. Делим обе части на $0{,}12$: $x = 42 : 0{,}12 = 350$.

Шаг 4. Проверяем: $350 \cdot 0{,}12 = 42$. Сходится.

Тип 2 отличается от типа 1 одним действием — делением вместо умножения.
Перепутать их легко, поэтому полезно оценить ответ заранее: 42 — это всего
12 % целого, значит целое должно быть намного больше 42. Число 5,04,
которое получается при умножении, такой оценки не проходит.

Тип 3: сколько процентов одно число от другого#

Условие: из 45 упражнений сделано 27. Сколько это процентов?

Шаг 1. Целое — 45: именно от него считаем долю.

Шаг 2. Делим часть на целое: $27 : 45 = 0{,}6$.

Шаг 3. Переводим дробь в проценты умножением на 100: $0{,}6 = 60\%$.

Ответ: 60 %.

Главная ловушка типа 3 — разделить наоборот, $45 : 27$. Получится 1,67, то
есть 167 %, а часть не может быть больше целого. Правило простое: в
знаменателе всегда стоит то, что принято за 100 %.

Повышение и понижение цены#

Условие: цена 800 рублей выросла на 25 %, а через месяц новая цена
снизилась на 25 %. Сколько стоит товар теперь?

Шаг 1. Рост: $800 \cdot 0{,}25 = 200$, новая цена $800 + 200 = 1000$
рублей.

Шаг 2. Снижение считается уже от 1000, а не от 800:
$1000 \cdot 0{,}25 = 250$.

Шаг 3. Итог: $1000 - 250 = 750$ рублей — меньше, чем было вначале.

Это не парадокс и не ошибка: проценты взяты от разных баз. Тот же расчёт
короче делается множителями: рост на 25 % — умножение на 1,25, снижение на
25 % — умножение на 0,75, итого $800 \cdot 1{,}25 \cdot 0{,}75 = 750$.

Скидка считается так же: товар за 1500 рублей со скидкой 30 % стоит
$1500 \cdot 0{,}7 = 1050$ рублей. Умножать сразу на 0,7 быстрее, чем
считать скидку и вычитать.

Ошибки, которые повторяются из года в год#

Берут процент не от того числа. Прочитав условие, подчеркни слово, после
которого стоит «от»: процент считается именно от него.

Складывают проценты от разных величин: «подорожало на 10 %, потом ещё на
10 %» — это не 20 %, а умножение на $1{,}1 \cdot 1{,}1 = 1{,}21$, то есть
21 %.

Путают «на 20 % больше» и «составляет 20 %». Первое — прибавка к целому,
второе — пятая часть целого.

Забывают перевести ответ обратно в проценты в задачах третьего типа и
записывают 0,6 вместо 60 %.

Как проверить ответ#

Прикидка круглыми процентами. Половина — 50 %, четверть — 25 %, десятая
часть — 10 %. Задачу про 18 % от 250 можно оценить так: 10 % это 25,
20 % — 50, значит ответ чуть меньше 50. Полученные 45 в эту вилку
попадают. Если ответ из вилки выпал, ошибка не в арифметике, а в выборе
действия.

План по этапам

1. Шаг 1 — переводПереводить проценты в дроби и обратно устно: 5 %, 40 %, 125 %, 0,2 %, 0,45, 1,3.
2. Шаг 2 — процент от числаДесять задач первого типа, каждую решать двумя способами — умножением и через один процент.
3. Шаг 3 — число по процентуЗадачи второго типа через уравнение с обязательной проверкой подстановкой.
4. Шаг 4 — доля в процентахЗадачи третьего типа: определять, что стоит в знаменателе, до вычислений.
5. Шаг 5 — цены и скидкиРост и снижение через множители 1,25 и 0,75; задачи с двумя изменениями подряд.

Проверь себя

Источники

• Khan AcademyЗадачи на проценты с пошаговым разбором и проверкой
  бесплатно
• StepikБесплатные курсы по математике 5–6 класса на русском
  бесплатно

Было полезно?

Да Нет