Степени 7 класс

Определение и откуда берутся свойства#

Запись $a^n$ означает, что множитель $a$ взят $n$ раз: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$. Число $a$ называют основанием, $n$ —
показателем.

Любое свойство проверяется разворачиванием записи. Например, чему равно
$2^3 \cdot 2^4$? Развернём: три двойки, потом ещё четыре двойки, всего семь
множителей — значит $2^7$. Отсюда и правило: показатели складываются.
Запоминать при этом нужно не формулу, а способ её получить: показатели
путаются, а счёт множителей не подводит.

Пять свойств#

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

При делении вычитаются:

$a^m : a^n = a^{m-n}$

При возведении степени в степень перемножаются:

$(a^m)^n = a^{mn}$

Степень произведения — произведение степеней:

$(ab)^n = a^n b^n$

Степень дроби — дробь из степеней:

$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

Отдельно стоит нулевой показатель: $a^0 = 1$ для любого $a \ne 0$. Это не
соглашение с потолка, а следствие правила деления: $a^3 : a^3 = a^{3-3} = a^0$, а любое число, делённое само на себя, равно единице.

Важное ограничение: все пять свойств требуют ОДИНАКОВЫХ оснований (или
одинаковых показателей в двух последних). Для $2^3 \cdot 3^2$ никакого
правила нет — придётся считать: $8 \cdot 9 = 72$.

Разбор примеров#

Пример 1. Вычислить $2^3 \cdot 2^4$.

Шаг 1. Основания одинаковые — двойки, значит работает первое свойство.

Шаг 2. Складываем показатели: $3 + 4 = 7$, получается $2^7$.

Шаг 3. Считаем значение: $2^7 = 128$.

Перемножать показатели тут нельзя: $2^{12}$ — это 4096, то есть в 32 раза
больше правильного ответа.

Пример 2. Вычислить $3^7 : 3^5$.

Шаг 1. Основания одинаковые, действие — деление, значит показатели
вычитаются.

Шаг 2. $7 - 5 = 2$, получается $3^2$.

Шаг 3. $3^2 = 9$.

Пример 3. Упростить $(2a^3)^2$.

Шаг 1. В скобках произведение, значит в квадрат возводится каждый
множитель: $2^2 \cdot (a^3)^2$.

Шаг 2. Считаем числовой множитель: $2^2 = 4$. Его часто оставляют двойкой —
это и есть главная ошибка примера.

Шаг 3. Степень степени: показатели перемножаются, $(a^3)^2 = a^6$.

Ответ: $4a^6$.

Знак минус и где он теряется#

Записи $(-2)^4$ и $-2^4$ означают разное. В первой в четвёртую степень
возводится $-2$ целиком: $(-2)^4 = 16$. Во второй сначала возводится 2, а
минус остаётся снаружи: $-2^4 = -16$. Скобки здесь меняют ответ, а не
оформление.

Правило знака для отрицательного основания: чётный показатель даёт плюс,
нечётный — минус. $(-2)^3 = -8$, $(-2)^4 = 16$, $(-3)^5$ отрицательно.
Причина простая — минусы попарно уничтожаются, и при чётном показателе пары
складываются без остатка.

Чего со степенями делать нельзя#

Складывать степени по правилам умножения. Для $a^3 + a^4$ никакого свойства
нет: это сумма, а не произведение, её можно лишь вынести за скобку —
$a^3(1 + a)$.

Возводить сумму в степень почленно. Запись $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ неверна,
между квадратами стоит ещё удвоенное произведение — это разбирается в теме
про формулы сокращённого
умножения.

Применять правила к разным основаниям. $2^3 \cdot 5^3$ по свойству степени
произведения равно $(2 \cdot 5)^3 = 1000$: здесь совпали показатели, а не
основания, и работает четвёртое свойство, а не первое.

Забывать про единицу в нулевой степени: $7^0 = 1$, а не 0 и не 7.

Где это пригодится сразу#

Квадраты и кубы стоят в формулах площади и объёма: сторона квадрата в
квадрате даёт площадь — отсюда и название степени, подробнее в теме про
площадь и периметр. Степени десятки
превращают длинные числа в короткие: $10^3 = 1000$, $10^6$ — миллион. А
компьютерные объёмы — степени двойки: $2^{10} = 1024$, откуда и берётся
«килобайт это 1024 байта». Строго по стандарту 1024 байта — это кибибайт,
а килобайт равен 1000 байт, но в быту так почти никто не говорит.

Тема считается усвоенной, когда ты, глядя на выражение, сразу называешь
свойство вслух — «одинаковые основания, умножение, складываю показатели» —
и не путаешься в знаке при отрицательном основании.

План по этапам

1. Шаг 1 — таблица степенейВыучить степени двойки до 2¹⁰, тройки до 3⁵, квадраты чисел до 20.
2. Шаг 2 — два первых свойстваПо десять примеров на умножение и деление степеней с одинаковым основанием.
3. Шаг 3 — степень степени и произведенияУпрощать выражения вида (3x²)³, не забывая возводить числовой множитель.
4. Шаг 4 — знакиРазличать (−a)ⁿ и −aⁿ на двадцати примерах с чётными и нечётными показателями.
5. Шаг 5 — смешанные выраженияУпрощать выражения, где свойства применяются подряд, и проверять подстановкой a = 2.

Проверь себя

Источники

• Khan AcademyСвойства степеней с упражнениями и мгновенной проверкой
  бесплатно
• StepikБесплатные курсы по алгебре 7 класса на русском
  бесплатно

Было полезно?

Да Нет