Системы уравнений 7 класс

Что значит «решить систему»#

Решение системы — пара чисел, которая обращает в верное равенство оба
уравнения сразу. Не одно, а оба: пара, подходящая только к первому
уравнению, решением не является. Поэтому ответ всегда записывают парой,
например $(5; 3)$, и проверяют подстановкой в обе строки.

Два школьных способа отличаются только тем, как избавиться от второй
переменной. Способ подстановки удобен, когда в какой-то строке переменная
уже выражена или легко выражается. Способ сложения — когда коэффициенты при
одной переменной противоположны или их легко такими сделать.

Способ сложения: простой случай#

Система: $x + y = 10$ и $x - y = 4$.

Шаг 1. Смотрим на коэффициенты при $y$: в первом уравнении $+1$, во втором
$-1$. Они противоположны, значит при сложении $y$ уйдёт.

Шаг 2. Складываем левые части и правые части отдельно:
$(x + y) + (x - y) = 10 + 4$, то есть $2x = 14$.

Шаг 3. Делим на 2: $x = 7$.

Шаг 4. Возвращаемся в любое из исходных уравнений — проще в первое:
$7 + y = 10$, откуда $y = 3$.

Шаг 5. Проверяем во втором уравнении: $7 - 3 = 4$. Верно. Ответ $(7; 3)$.

Шаг 4 пропускают чаще всего: найдя $x$, считают задачу решённой. Но ответ
системы — пара, одно число ответом не является.

Способ подстановки#

Система: $x + 2y = 11$ и $3x - y = 12$.

Шаг 1. Выбираем, что выражать. Удобнее $x$ из первого уравнения: при нём
коэффициент единица, дробей не появится.

Шаг 2. Выражаем: $x = 11 - 2y$.

Шаг 3. Подставляем это выражение во второе уравнение вместо $x$ —
обязательно в скобках: $3(11 - 2y) - y = 12$.

Шаг 4. Раскрываем скобки: $33 - 6y - y = 12$. Умножать на 3 нужно оба
слагаемых, и это место, где теряется минус.

Шаг 5. Приводим подобные и переносим: $-7y = 12 - 33$, то есть
$-7y = -21$.

Шаг 6. Делим на $-7$: $y = 3$.

Шаг 7. Подставляем в выражение из шага 2: $x = 11 - 2 \cdot 3 = 5$.

Шаг 8. Проверка во втором уравнении: $3 \cdot 5 - 3 = 12$. Ответ $(5; 3)$.

Способ сложения: пример посложнее#

Система: $2x + 3y = 16$ и $5x - 3y = 19$.

Шаг 1. При $y$ стоят $+3$ и $-3$ — противоположные, уравнения можно сложить
сразу, ничего не домножая.

Шаг 2. Складываем: $7x = 35$.

Шаг 3. Находим $x = 5$.

Шаг 4. Подставляем в первое уравнение: $2 \cdot 5 + 3y = 16$, значит
$3y = 6$ и $y = 2$.

Шаг 5. Проверка во втором: $25 - 6 = 19$. Ответ $(5; 2)$.

Если бы противоположных коэффициентов не было — скажем, $2x$ и $3x$ —
уравнения сначала домножают почленно: первое на 3, второе на $-2$, и тогда
при $x$ получаются $6x$ и $-6x$. Домножать нужно всю строку целиком, включая
правую часть.

Откуда системы берутся в задачах#

Типичное условие: периметр прямоугольника 20 см, а одна сторона на 2 см
больше другой. Обозначим стороны $a$ и $b$. Первое уравнение — про периметр:
$2(a + b) = 20$, то есть $a + b = 10$. Второе — про разницу: $a = b + 2$.
Подставляем: $b + 2 + b = 10$, откуда $2b = 8$, $b = 4$ и $a = 6$. Проверка:
периметр $2 \cdot (6+4) = 20$, разница 2 см — сходится. Формулы, которые
дают первое уравнение, разобраны в теме про площадь и
периметр.

Ошибка в таких задачах чаще всего не в решении системы, а в её
составлении: переменные не названы словами. Пиши рядом расшифровку — «$a$ — длина в
сантиметрах» — и проверяй, что каждое уравнение читается предложением из
условия.

Особые случаи и ошибки#

Если после исключения переменной получилось $0 = 5$, решений нет: прямые
параллельны. Если вышло $0 = 0$, решений бесконечно много: уравнения
описывают одну и ту же прямую. Это не ошибка счёта, а законный ответ.

Складывают левые части, а правые забывают. Складывать нужно обе стороны —
иначе равенство ломается.

Подставляют найденное число не туда: после подстановки во второе уравнение
получают тождество и решают его заново по кругу. Возвращайся в исходное
уравнение или в выражение, полученное на шаге выражения переменной.

Не делают проверку. Подстановка пары в обе строки занимает одну строчку и
даёт полную уверенность в ответе. Сами преобразования каждой строки — те же,
что в разборе линейных уравнений.

План по этапам

1. Шаг 1 — выражение переменнойИз уравнений вида x + 2y = 11 выражать то x, то y; следить, чтобы не появлялись дроби.
2. Шаг 2 — подстановкаПять систем способом подстановки, подставляемое выражение всегда в скобках.
3. Шаг 3 — сложениеПять систем с готовыми противоположными коэффициентами, без домножения.
4. Шаг 4 — домножение строкСистемы, где коэффициенты приходится уравнивать: домножать строку целиком вместе с правой частью.
5. Шаг 5 — текстовые задачиСоставить систему по условию про периметр, возраст, покупки; расшифровать переменные словами и проверить ответ по условию.

Проверь себя

Источники

• Khan AcademyРаздел про системы линейных уравнений с пошаговыми подсказками
  бесплатно
• StepikБесплатные курсы по алгебре 7 класса на русском
  бесплатно

Было полезно?

Да Нет