Площадь и периметр

Разница в одной картинке#

Представь участок земли. Забор ставят по границе — его длина и есть
периметр. Газон сеют внутри — его размер и есть площадь. Забор меряют
метрами, траву покупают квадратными метрами. Обе величины описывают одну
фигуру, но отвечают на разные вопросы: «какой длины обойти» и «сколько
уместится внутри».

Проверка единицами работает всегда. Если в ответе на вопрос о площади
получились просто сантиметры — считали периметр. Если в ответе про длину
забора стоят квадратные метры — перепутали формулу.

Формулы, которые нужны в школе#

Прямоугольник со сторонами $a$ и $b$: периметр $P = 2(a+b)$, площадь
$S = ab$.

Квадрат со стороной $a$: периметр $P = 4a$, площадь $S = a^2$.

Треугольник: периметр — сумма трёх сторон, площадь
$S = \frac{1}{2}ah$, где $h$ — высота, проведённая к стороне $a$. Высота
должна быть перпендикулярна именно той стороне, которую взяли за основание.

Круг радиуса $r$: длина окружности $C = 2\pi r$, площадь $S = \pi r^2$.
У круга границу называют не периметром, а длиной окружности, но смысл тот
же. Для оценок берут $\pi \approx 3{,}14$.

Задача 1: считаем обе величины#

Прямоугольник со сторонами 6 см и 4 см.

Шаг 1. Периметр — сумма всех четырёх сторон. Противоположные стороны равны,
поэтому складываем длину и ширину и удваиваем: $2 \cdot (6 + 4) = 20$ см.

Шаг 2. Площадь — сколько квадратиков со стороной 1 см поместится внутри.
В каждом ряду их 6, рядов 4: $6 \cdot 4 = 24$ см².

Шаг 3. Записываем единицы. Периметр 20 см, площадь 24 см² — разные числа и
разные единицы у одной фигуры.

Задача 2: обратный ход от периметра к площади#

Периметр квадрата 36 см. Найти площадь.

Шаг 1. У квадрата четыре равные стороны, значит $4a = 36$.

Шаг 2. Делим обе части на 4: $a = 9$ см. Это обычное уравнение с одним
неизвестным, приёмы из разбора линейных
уравнений здесь работают буквально.

Шаг 3. Площадь квадрата — сторона в квадрате: $9^2 = 81$ см².

Частая ошибка в этой задаче — возвести в квадрат сам периметр и получить
1296. Возводить нужно сторону, а сторону сначала надо найти.

Задача 3: треугольник#

Основание 10 см, высота к нему 6 см.

Шаг 1. Площадь треугольника — половина произведения основания на высоту.

Шаг 2. Считаем произведение: $10 \cdot 6 = 60$.

Шаг 3. Делим пополам: $S = 30$ см². Половина берётся потому, что
треугольник — ровно половина прямоугольника со сторонами 10 и 6.

Периметр этого треугольника по таким данным не находится: высота не сторона,
а длины двух других сторон неизвестны. Условие «даны основание и высота»
отвечает только на вопрос про площадь.

Почему при равном периметре площади разные#

Возьми прямоугольник 6 × 4 и прямоугольник 8 × 2. Периметры одинаковые:
$2 \cdot (6+4) = 20$ и $2 \cdot (8+2) = 20$. А площади разные: 24 см² и
16 см². Чем вытянутее прямоугольник при том же периметре, тем меньше
внутри. Наибольшая площадь при заданном периметре — у квадрата: при
периметре 20 см это квадрат 5 × 5 площадью 25 см².

Отсюда практический вывод для задач про участки и комнаты: из «периметры
равны» не следует «площади равны», и наоборот. Если в задаче спрашивают,
насколько одна площадь больше другой в процентах, дальше работает обычный
счёт из разбора задач на проценты.

Ошибки и как их ловить#

Складывают длину и ширину и называют это периметром: $6 + 4 = 10$ — это
полупериметр, его нужно удвоить.

Умножают все четыре стороны при поиске площади. Площадь прямоугольника —
произведение двух соседних сторон, не четырёх.

Берут высоту треугольника к одной стороне, а умножают на другую. Основание
и высота — пара, они должны быть перпендикулярны друг другу.

Смешивают единицы: сторона в метрах, вторая в сантиметрах. Перед счётом
переведи всё в одни единицы. И помни, что 1 м² — это 10 000 см², а не
100: при переводе площадей множитель возводится в квадрат.

План по этапам

1. Шаг 1 — развести понятияНа пяти фигурах показать пальцем границу и внутренность, назвать единицы для каждой величины.
2. Шаг 2 — прямоугольник и квадратСчитать P и S для десяти пар сторон, записывая единицы в каждом ответе.
3. Шаг 3 — обратные задачиПо периметру найти сторону, по площади — вторую сторону; каждый раз через уравнение.
4. Шаг 4 — треугольник и кругПлощадь через основание и высоту, длина окружности и площадь круга при π ≈ 3,14.
5. Шаг 5 — текстовые задачиЗабор, плитка, обои, газон: решать вопрос «граница или внутренность» до выбора формулы.

Проверь себя

Источники

• Khan AcademyРазделы про площадь и периметр с задачами и разбором
  бесплатно
• StepikБесплатные курсы по школьной геометрии на русском
  бесплатно

Было полезно?

Да Нет