Как решать линейные уравнения

Принцип весов#

Уравнение — это весы в равновесии. Разрешены два действия: прибавить
(вычесть) одно и то же число к обеим частям и умножить (разделить) обе
части на одно и то же число, не равное нулю. Любой школьный приём — частный
случай этих двух.

Перенос слагаемого через знак равенства со сменой знака — не отдельное
правило, а сокращённая запись первого действия. В уравнении $x + 5 = 12$
вычитаем 5 из обеих частей: слева остаётся $x$, справа получается 7. На
бумаге это выглядит как «пятёрка перешла направо и стала минус пять».

Порядок работы всегда один: раскрыть скобки, избавиться от дробей,
собрать слагаемые с переменной слева, числа справа, привести подобные,
разделить на коэффициент, проверить.

Пример 1: переменная в обеих частях#

Решим $5x - 7 = 3x + 9$.

Шаг 1. Переносим $3x$ влево — при переходе знак меняется:
$5x - 3x - 7 = 9$.

Шаг 2. Переносим $-7$ вправо, там оно станет $+7$: $5x - 3x = 9 + 7$.

Шаг 3. Приводим подобные с обеих сторон: $2x = 16$.

Шаг 4. Делим обе части на коэффициент при переменной: $x = 8$.

Шаг 5. Проверяем подстановкой в исходное уравнение. Слева
$5 \cdot 8 - 7 = 33$, справа $3 \cdot 8 + 9 = 33$. Части равны, корень
найден верно.

Пример 2: со скобками#

Решим $3(x - 2) = 2x + 5$.

Шаг 1. Раскрываем скобки: множитель 3 умножается на каждое слагаемое
внутри, а не только на первое: $3x - 6 = 2x + 5$.

Шаг 2. Собираем переменные слева, числа справа: $3x - 2x = 5 + 6$.

Шаг 3. Приводим подобные: $x = 11$.

Шаг 4. Проверка: слева $3 \cdot (11 - 2) = 27$, справа
$2 \cdot 11 + 5 = 27$. Сходится.

Если перед скобкой стоит минус, знак меняют все слагаемые внутри:
$-(x - 4) = -x + 4$. Это место, где теряется больше всего баллов на
контрольных.

Пример 3: с дробями#

Решим $\frac{x+1}{4} = \frac{x-3}{2}$.

Шаг 1. Находим общий знаменатель дробей — 4 — и умножаем на него обе части
уравнения целиком. Как ищется общий знаменатель, разобрано в теме про
дроби с разными знаменателями.

Шаг 2. Слева дробь сокращается и остаётся $x + 1$, справа
$\frac{4(x-3)}{2} = 2(x - 3)$. Уравнение стало целым: $x + 1 = 2(x - 3)$.

Шаг 3. Раскрываем скобки: $x + 1 = 2x - 6$.

Шаг 4. Переносим: $x - 2x = -6 - 1$, то есть $-x = -7$.

Шаг 5. Делим обе части на $-1$: $x = 7$.

Шаг 6. Проверка: слева $\frac{8}{4} = 2$, справа $\frac{4}{2} = 2$. Верно.

Умножать на общий знаменатель нужно каждое слагаемое уравнения, включая
те, что стоят без дроби. Забытое слагаемое — самая частая причина неверного
корня в примерах этого вида.

Когда корней нет или их бесконечно много#

После приведения подобных переменная иногда исчезает из обеих частей.

Если получилось числовое равенство, которое неверно — например,
$0 \cdot x = 5$ или $3 = 8$, — корней нет: ни одно число не подходит.

Если получилось верное равенство, например $0 = 0$, подходит любое число:
уравнение оказалось тождеством. Так выходит у $2(x + 3) = 2x + 6$ — слева
и справа записано одно и то же.

Оба случая — законные ответы, а не признак того, что решение сломалось.
Писать в таких ситуациях $x = 0$ неверно: ноль либо не подходит, либо
подходит наравне со всеми остальными числами.

Типичные ошибки#

Переносят слагаемое, не меняя знак. Проверяется подстановкой: если корень
не подходит, ищи знак.

Делят на коэффициент только одну часть уравнения. Делить нужно обе.

Умножают на число только первое слагаемое в скобках: $3(x - 2)$ превращают
в $3x - 2$ вместо $3x - 6$.

Сокращают переменную на переменную, которая может оказаться нулём. В
линейных уравнениях делить на выражение с переменной не нужно вовсе —
достаточно переносов.

Проверка и что дальше#

Проверка подстановкой обязательна: она занимает одну строку и ловит любую
из перечисленных ошибок. Подставляй корень именно в исходное уравнение, а
не в промежуточную строку — иначе ошибка, сделанная по дороге, повторится
вместе с проверкой.

Когда решение одного уравнения перестало вызывать вопросы, следующая тема —
системы уравнений за 7 класс: там два
неизвестных сводят к одному и решают ровно теми же приёмами.

План по этапам

1. Шаг 1 — простейшиеДесять уравнений вида x + a = b и ax = b, каждое с проверкой подстановкой.
2. Шаг 2 — переменная в двух частяхСобирать переменные слева, числа справа; следить за сменой знака при переносе.
3. Шаг 3 — скобкиУравнения со скобками, в том числе с минусом перед скобкой.
4. Шаг 4 — дробиУмножать обе части на общий знаменатель, не пропуская слагаемые без дроби.
5. Шаг 5 — особые случаиРаспознавать уравнения без корней и тождества, записывать ответ словами.

Проверь себя

Источники

• Khan AcademyЛинейные уравнения: разборы и упражнения с проверкой ответа
  бесплатно
• StepikБесплатные курсы по алгебре на русском языке
  бесплатно

Было полезно?

Да Нет