Формулы сокращённого умножения

Сами формулы#

Квадрат суммы и квадрат разности:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Разность квадратов:

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Куб суммы и куб разности:

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Сумма и разность кубов:

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Обрати внимание на две вещи. В квадрате разности последнее слагаемое со
знаком плюс: минус на минус дал плюс. А в формулах кубов множитель в
скобках называют неполным квадратом: у него нет двойки перед произведением,
и знак в нём противоположен знаку между кубами.

Разбор: раскрыть скобки#

Пример первый — $(x+3)^2$.

Шаг 1. Пишем квадрат первого слагаемого: $x^2$. Первое слагаемое здесь
$x$, поэтому и квадрат буквенный.

Шаг 2. Прибавляем удвоенное произведение: $2 \cdot x \cdot 3 = 6x$.
Двойка берётся из формулы, её не надо искать в условии.

Шаг 3. Прибавляем квадрат второго слагаемого: $3^2 = 9$.

Ответ: $x^2 + 6x + 9$.

Пример второй — $(2x-5)^2$. Здесь первое слагаемое не буква, а произведение,
и это главная ловушка примера.

Шаг 1. Квадрат первого слагаемого — квадрат всего $2x$ целиком:
$(2x)^2 = 4x^2$. Возводится и двойка тоже, а не только буква.

Шаг 2. Удвоенное произведение: $2 \cdot 2x \cdot 5 = 20x$. Между квадратами
в формуле разности стоит минус, значит это слагаемое вычитается.

Шаг 3. Квадрат второго слагаемого: $5^2 = 25$, со знаком плюс.

Ответ: $4x^2 - 20x + 25$.

Разбор: разложить на множители#

Обратный ход нужен чаще прямого: он сокращает дроби и решает уравнения.
Возьмём $49y^2 - 16$.

Шаг 1. Проверяем, что оба слагаемых — точные квадраты: $49y^2 = (7y)^2$,
а $16 = 4^2$. Между ними стоит минус, значит работает разность квадратов.

Шаг 2. Записываем по формуле: $(7y-4)(7y+4)$.

Шаг 3. Проверяем обратным умножением: $7y \cdot 7y = 49y^2$, крайние
слагаемые $-28y$ и $+28y$ взаимно уничтожаются, остаётся $-16$. Сходится.

Важное ограничение: сумма квадратов $a^2 + b^2$ на множители в школьном
курсе не раскладывается. Если в задаче стоит плюс, формулу разности
квадратов применять нельзя — это не «забыли знак», а другое выражение.

Счёт в уме без калькулятора#

Формулы работают и на обычных числах, если разложить их на круглое число и
остаток.

$101^2 = (100+1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$.

$98 \cdot 102 = (100-2)(100+2) = 10000 - 4 = 9996$.

$41^2 - 39^2 = (41-39)(41+39) = 2 \cdot 80 = 160$. Считать каждый квадрат
отдельно тут дольше втрое, а ответ тот же: $1681 - 1521 = 160$.

Этот приём — хорошая самопроверка. Если устный ответ по формуле совпал с
ответом в столбик, формула применена верно.

Где ошибаются#

Первое место с большим отрывом — пропущенное удвоенное произведение:
запись $(a+b)^2 = a^2 + b^2$. Проверить себя можно числами: подставь
$a=2$, $b=3$. Слева $(2+3)^2 = 25$, справа $4 + 9 = 13$. Числа не сошлись,
значит равенство неверное. Такую подстановку стоит делать каждый раз, когда
в формуле появились сомнения: она занимает десять секунд и отвечает
однозначно.

Вторая ошибка — знак в квадрате разности. Последнее слагаемое всегда со
знаком плюс, минус достаётся только среднему.

Третья — неполный возведённый множитель: в $(3x)^2$ получается $9x^2$, а не
$3x^2$. Про это же правило подробно написано в разборе степеней за 7
класс.

Четвёртая — применение формул к тому, что под них не подходит. Перед тем
как писать ответ, назови вслух, что у тебя $a$ и что $b$. Если назвать не
получается, формула не та.

Разложение на множители чаще всего нужно, чтобы сократить дробь или решить
уравнение. Когда после разложения остаётся уравнение вида $5x = 30$,
дальше работают обычные правила из разбора линейных
уравнений.

Что делать дальше#

Выпиши семь формул на один листок и держи его перед собой первую
неделю. Каждый день раскрывай по пять скобок и раскладывай по пять
выражений обратно, обязательно с проверкой подстановкой числа. Тема
считается закрытой, когда ты по виду выражения сразу говоришь, какая
формула нужна, а на счёт уходит меньше минуты.

План по этапам

1. Шаг 1 — выучить три первые формулыКвадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов. Проверять каждую подстановкой чисел a=2, b=3.
2. Шаг 2 — раскрыть скобкиДвадцать выражений вида (x+5)^2 и (3a-2)^2, каждое в три строки: квадрат, удвоенное произведение, квадрат.
3. Шаг 3 — обратный ходРазложить на множители выражения с разностью квадратов и проверить обратным умножением.
4. Шаг 4 — кубыДобавить формулы кубов и неполный квадрат; отличать их от квадратных по степени слагаемых.
5. Шаг 5 — устный счётСчитать 99², 102 · 98, 51² − 49² по формулам и сверять со столбиком.

Проверь себя

Источники

• Khan AcademyБесплатные упражнения по алгебре с мгновенной проверкой ответа
  бесплатно
• StepikБесплатные курсы по школьной алгебре на русском языке
  бесплатно

Было полезно?

Да Нет