Дроби с разными знаменателями

Почему нельзя складывать как есть#

Дробь — это доли. В записи $\frac{1}{6}$ знаменатель говорит, на сколько
частей поделили целое, числитель — сколько частей взяли. Сложить шестые
части с восьмыми напрямую нельзя по той же причине, по которой нельзя
сложить три метра с четырьмя килограммами: величины разного рода.

Поэтому доли сначала делают одинаковыми. Приведение к общему знаменателю не
меняет сами числа: $\frac{1}{6}$ и $\frac{4}{24}$ — одно и то же
количество, записанное более мелкими долями. Главное правило приведения:
на что умножили знаменатель, на то же умножается числитель.

Как найти общий знаменатель#

Подойдёт любое число, которое делится на оба знаменателя. Самое удобное —
наименьшее общее кратное (НОК), с ним числа не разрастаются.

Три способа найти НОК, от простого к общему:

Первый. Один знаменатель делится на другой — он и есть общий. Для
$\frac{1}{4}$ и $\frac{3}{12}$ общий знаменатель 12.

Второй. Перебрать кратные большего знаменателя, пока не попадётся делящееся
на меньший. Для 6 и 8: 8 не делится на 6, 16 не делится, 24 делится — это и
есть НОК.

Третий, работающий всегда. Разложить оба знаменателя на простые множители и
взять каждый множитель в наибольшей степени. Для 12 и 20:
$12 = 2^2 \cdot 3$, $20 = 2^2 \cdot 5$, значит
НОК равно $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Произведение знаменателей тоже годится, но ответ тогда придётся сокращать:
для 12 и 20 это 240 вместо 60.

Пример 1: сложение#

Вычислим $\frac{1}{6} + \frac{3}{8}$.

Шаг 1. Ищем общий знаменатель. Кратные восьми: 8, 16, 24 — первое, что
делится на 6, это 24.

Шаг 2. Находим дополнительные множители: $24 : 6 = 4$ для первой дроби и
$24 : 8 = 3$ для второй.

Шаг 3. Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на её множитель:
$\frac{1}{6} = \frac{4}{24}$, $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$.

Шаг 4. Складываем числители, знаменатель оставляем:
$\frac{4 + 9}{24} = \frac{13}{24}$.

Шаг 5. Проверяем, сокращается ли ответ. 13 — простое число, 24 на него не
делится, значит дробь несократима.

Пример 2: вычитание с сокращением ответа#

Вычислим $\frac{5}{12} - \frac{3}{20}$.

Шаг 1. НОК знаменателей найден выше: 60.

Шаг 2. Дополнительные множители: $60 : 12 = 5$ и $60 : 20 = 3$.

Шаг 3. Приводим: $\frac{5}{12} = \frac{25}{60}$,
$\frac{3}{20} = \frac{9}{60}$.

Шаг 4. Вычитаем числители: $\frac{25 - 9}{60} = \frac{16}{60}$.

Шаг 5. Сокращаем на 4: $\frac{16}{60} = \frac{4}{15}$. Ответом считается
только несократимая дробь.

Пример 3: сравнение#

Что больше, $\frac{5}{8}$ или $\frac{7}{12}$? На глаз не видно: у первой
дроби числитель меньше, а знаменатель тоже меньше.

Шаг 1. Общий знаменатель для 8 и 12 — это 24.

Шаг 2. Приводим: $\frac{5}{8} = \frac{15}{24}$,
$\frac{7}{12} = \frac{14}{24}$.

Шаг 3. Доли теперь одинаковые, сравниваем числители: $15 > 14$, значит
$\frac{5}{8} > \frac{7}{12}$.

Тот же вопрос решается и переводом в десятичные дроби: $0{,}625$ против
$0{,}5833…$. Как это делается, разобрано в теме про десятичные
дроби за 5 класс.

Ошибки, которые стоят ответа#

Складывают знаменатели: $\frac{1}{6} + \frac{3}{8} = \frac{4}{14}$.
Проверь числами: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ дало бы по такому «правилу»
$\frac{2}{4}$, то есть половину вместо целого.

Умножают знаменатель, а числитель забывают. Тогда дробь меняет значение, и
дальше всё решение неверно, даже если сложение выполнено аккуратно.

Приводят к общему знаменателю там, где это не нужно. При умножении и
делении дробей общий знаменатель не требуется:
там работают другие правила.

Не сокращают ответ или, наоборот, сокращают через слагаемое: сократить
можно только множители, а не отдельные числа в сумме числителя.

Как проверять себя#

Прикидка по величине. Обе дроби примерно равны половине? Значит сумма
примерно единица. В первом примере $\frac{1}{6}$ — это немного, $\frac{3}{8}$
— чуть меньше половины, сумма должна выйти около половины: $\frac{13}{24}$
чуть больше $\frac{12}{24}$, всё сходится. Такая прикидка занимает секунды
и ловит грубые ошибки вроде потерянного дополнительного множителя.

План по этапам

1. Шаг 1 — НОКНаходить наименьшее общее кратное для десяти пар чисел перебором и разложением на множители.
2. Шаг 2 — приведениеПриводить по одной дроби к заданному знаменателю, проговаривая дополнительный множитель вслух.
3. Шаг 3 — сложение и вычитаниеДесять примеров с обязательным сокращением ответа и выделением целой части.
4. Шаг 4 — сравнениеСравнить пары дробей через общий знаменатель и проверить прикидкой к половине.
5. Шаг 5 — смешанные числаСложение и вычитание смешанных чисел, в том числе с занятием единицы у целой части.

Проверь себя

Источники

• Khan AcademyПошаговые упражнения на общий знаменатель с подсказками
  бесплатно
• StepikБесплатные курсы по дробям и арифметике на русском
  бесплатно

Было полезно?

Да Нет