Десятичные дроби 5 класс

Что означает каждая цифра#

В числе 3,478 целая часть — 3, а дальше идут разряды: 4 — десятые, 7 —
сотые, 8 — тысячные. Прочитать такую дробь можно одной обыкновенной:
$3{,}478 = 3\frac{478}{1000}$. Знаменатель — единица со столькими нулями,
сколько цифр стоит после запятой.

Отсюда важное следствие: приписывание нулей справа дробь не меняет.
$0{,}5 = 0{,}50 = 0{,}500$, потому что $\frac{5}{10} = \frac{50}{100}$.
Этим приёмом пользуются постоянно — и при сравнении, и при сложении.

Сравнение#

Шаг 1. Сравниваем целые части. У кого больше, то число и больше, дробные
части уже не смотрим.

Шаг 2. Целые части равны — уравниваем количество цифр после запятой нулями.

Шаг 3. Сравниваем получившиеся числа по разрядам слева направо.

Что больше, $0{,}45$ или $0{,}5$? Уравниваем: $0{,}50$ против $0{,}45$.
Десятых в первом числе пять, во втором четыре, значит $0{,}5 > 0{,}45$.
Ответ «0,45 больше, потому что в нём больше цифр» — самая частая ошибка
темы: количество цифр после запятой ничего не говорит о величине числа.

Сложение и вычитание#

Правило одно: запятая под запятой. Разряды обязаны стоять друг под другом,
иначе складываются десятые с сотыми.

Вычислим $3{,}4 + 12{,}75$.

Шаг 1. Уравниваем знаки после запятой: $3{,}4 = 3{,}40$.

Шаг 2. Записываем в столбик так, чтобы запятая оказалась под запятой:
3,40 и 12,75.

Шаг 3. Складываем как обычные числа: $340 + 1275 = 1615$.

Шаг 4. Ставим запятую в ответе на том же месте, где она стоит в
слагаемых: $16{,}15$.

Если выровнять числа по правому краю, как делают с целыми, получится
$13{,}09$ — сотые сложатся с десятыми. Это второй по частоте промах в теме.
Вычитание устроено так же: $12{,}75 - 3{,}4 = 12{,}75 - 3{,}40 = 9{,}35$.

Умножение#

Здесь запятые при записи выравнивать не нужно — наоборот, про них сначала
забывают.

Вычислим $2{,}5 \cdot 0{,}4$.

Шаг 1. Убираем запятые и умножаем целые числа: $25 \cdot 4 = 100$.

Шаг 2. Считаем цифры после запятой в обоих множителях: одна и одна, всего
две.

Шаг 3. Отделяем в произведении две последние цифры запятой: $1{,}00$.

Шаг 4. Убираем незначащие нули: ответ 1.

Ещё пример: $0{,}6 \cdot 0{,}7$. Без запятых $6 \cdot 7 = 42$, знаков после
запятой два, значит $0{,}42$. Заметь, что произведение меньше каждого из
множителей — при умножении на число меньше единицы так и должно быть.

Умножение и деление на 10, 100, 1000 делается переносом запятой:
$4{,}7 \cdot 10 = 47$, а $4{,}7 : 100 = 0{,}047$. Вправо при умножении,
влево при делении, на столько знаков, сколько нулей.

Деление на десятичную дробь#

Делить на число с запятой неудобно, поэтому запятую убирают из делителя.

Вычислим $7{,}2 : 0{,}8$.

Шаг 1. В делителе одна цифра после запятой. Умножаем на 10 и делимое, и
делитель: $72 : 8$.

Шаг 2. Частное от такого умножения не меняется — это свойство деления:
увеличили оба числа в одинаковое число раз.

Шаг 3. Делим целые: $72 : 8 = 9$.

Ответ 9 больше делимого, и это нормально: делили на число меньше единицы.
Если бы в ответе получилось $0{,}9$, стоило бы насторожиться — прикидка
здесь работает не хуже проверки.

Ошибки и проверки#

Сравнивают по длине записи, а не по разрядам. Лечится приписыванием нулей.

Теряют запятую в произведении. Считай знаки вслух: «один и один — два».

Переносят запятую только в делителе, забыв про делимое. Тогда ответ
отличается в десять раз.

Для проверки удобно перевести десятичную дробь в обыкновенную и посчитать
второй раз: $2{,}5 \cdot 0{,}4 = \frac{25}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{100}{100} = 1$. Обратный перевод тоже пригодится, когда в одном
примере встретятся оба вида дробей — приведение к общему виду разобрано в
теме про дроби с разными
знаменателями.

Десятичные дроби дальше понадобятся в задачах на
проценты: процент — это и есть
десятичная дробь, записанная сотыми.

План по этапам

1. Шаг 1 — разрядыЧитать вслух десятые, сотые, тысячные и записывать дробь обыкновенной: 0,07 = 7/100.
2. Шаг 2 — сравнениеСравнить двадцать пар чисел, уравнивая количество знаков после запятой нулями.
3. Шаг 3 — столбикСложение и вычитание в столбик с запятой под запятой, по десять примеров каждого вида.
4. Шаг 4 — умножениеУмножать без запятых и отделять знаки в ответе; проверять прикидкой по целым частям.
5. Шаг 5 — делениеУбирать запятую из делителя умножением обоих чисел на 10 или 100, затем делить уголком.

Проверь себя

Источники

• Khan AcademyУпражнения на действия с десятичными дробями с разбором
  бесплатно
• StepikБесплатные курсы по математике 5–6 класса на русском
  бесплатно

Было полезно?

Да Нет