Деление дробей

Правило целиком#

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$

Вторая дробь переворачивается — числитель и знаменатель меняются местами,
такая дробь называется обратной. Знак деления становится знаком умножения.
Первая дробь при этом не трогается вообще.

Почему так. Разделить на $\frac{c}{d}$ — значит узнать, сколько раз
$\frac{c}{d}$ помещается в делимом. Проще всего это видно на целых:
$6 : \frac{1}{2} = 12$, потому что половинок в шести штуках ровно
двенадцать. Обрати внимание, что результат оказался больше делимого:
деление на дробь меньше единицы всегда увеличивает число. Если в ответе
получилось меньше, а делили на правильную дробь, где-то потеряно
переворачивание.

Пример 1: дробь на дробь#

Вычислим $\frac{3}{4} : \frac{2}{5}$.

Шаг 1. Переворачиваем делитель: у $\frac{2}{5}$ обратная дробь
$\frac{5}{2}$. Делимое $\frac{3}{4}$ остаётся как было.

Шаг 2. Меняем деление на умножение: $\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2}$.

Шаг 3. Умножаем числители и знаменатели отдельно:
$\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 2} = \frac{15}{8}$.

Шаг 4. Числитель больше знаменателя, поэтому выделяем целую часть:
восьмёрка помещается в пятнадцати один раз, остаток семь. Ответ
$1\frac{7}{8}$.

Пример 2: дробь на целое число#

Вычислим $\frac{5}{6} : 10$.

Шаг 1. Записываем десятку дробью: $10 = \frac{10}{1}$. Этот шаг пропускают
чаще всего, а без него непонятно, что переворачивать.

Шаг 2. Переворачиваем: обратная к $\frac{10}{1}$ — это $\frac{1}{10}$.

Шаг 3. Умножаем: $\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{10} = \frac{5}{60}$.

Шаг 4. Сокращаем на 5: $\frac{5}{60} = \frac{1}{12}$.

Короткий путь для этого случая: при делении дроби на целое достаточно
умножить знаменатель на это целое. Но пользоваться коротким путём стоит
после того, как длинный делается без раздумий.

Пример 3: смешанные числа#

Вычислим $2\frac{1}{3} : 1\frac{1}{6}$.

Шаг 1. Переводим оба числа в неправильные дроби. Целую часть умножаем на
знаменатель и прибавляем числитель: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$, а $1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$.

Шаг 2. Переворачиваем делитель: $\frac{6}{7}$.

Шаг 3. Умножаем: $\frac{7}{3} \cdot \frac{6}{7} = \frac{42}{21}$.

Шаг 4. Сокращаем: $\frac{42}{21} = 2$. Ответ целый — так бывает, и это не
признак ошибки.

Делить смешанные числа по частям — отдельно целые, отдельно дробные —
нельзя. Проверь на этом же примере: $2 : 1 = 2$ и $\frac{1}{3} : \frac{1}{6} = 2$, «ответ» вышел бы $2\frac{2}{1}$, что не равно двум.

Частые ошибки#

Переворачивают первую дробь вместо второй. Запомнить порядок помогает
проговаривание: «делимое оставляю, делитель переворачиваю».

Делят числители и знаменатели по отдельности, как при умножении. Этого
правила не существует: $\frac{3}{4} : \frac{2}{5}$ не равно
$\frac{3:2}{4:5}$.

Забывают сократить ответ. Дробь $\frac{42}{21}$ формально получена верно,
но ответом считается только несократимая запись.

Путают деление с умножением в текстовых задачах. Если спрашивают «сколько
кусков по $\frac{1}{4}$ метра выйдет из $\frac{3}{2}$ метров» — это
деление, и ответ $\frac{3}{2} : \frac{1}{4} = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6$.

Приводить дроби к общему знаменателю при делении не нужно — это действие
из сложения и вычитания дробей с разными
знаменателями. Если в примере
встретились и обыкновенные, и десятичные дроби, удобнее перевести всё в
обыкновенные; обратный перевод разобран в теме про десятичные дроби за 5
класс.

Как проверить себя#

Умножь полученное частное на делитель — должно получиться делимое. Для
первого примера: $\frac{15}{8} \cdot \frac{2}{5} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}$, совпало. Эта проверка ловит и переворачивание не той дроби, и
потерянное сокращение, и занимает полстроки.

План по этапам

1. Шаг 1 — обратная дробьНаучиться называть обратную дробь для 2/5, 7/3, 9, 1/8 — устно, по десять штук подряд.
2. Шаг 2 — дробь на дробьДесять примеров вида a/b : c/d с обязательным сокращением ответа.
3. Шаг 3 — целое и дробьДеление дроби на целое и целого на дробь: записывать целое как дробь со знаменателем 1.
4. Шаг 4 — смешанные числаПеревод в неправильные дроби, деление, обратный перевод в смешанное число.
5. Шаг 5 — проверкаК каждому решённому примеру дописывать проверку умножением частного на делитель.

Проверь себя

Источники

• Khan AcademyТренажёр действий с дробями с проверкой каждого шага
  бесплатно
• StepikБесплатные курсы по арифметике и дробям на русском
  бесплатно

Было полезно?

Да Нет